Формула биквадратного уравнения:
ax⁴+bx²+c=0, где a≠0

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
x2=t,t≥0
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at²+bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

Пример №1:
x4−5x2+6=0

Делаем замену,
x2=t,t≥0

t2−5t+6=0
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
D=b2−4ac=(−5)2−4×1×6=25−24=1
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

t1=−b+D−−√2a=−(−5)+1–√2×1=5+12=62=3t2=−b−D−−√2a=−(−5)−1–√2×1=5−12=42=2

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: x2=3
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

x1=3–√x2=−3–√x2=2x3=2–√x4=−2–√

Ответ: x1=3–√,x2=−3–√,x3=2–√,x4=−2–√

Пример №2:
Решить биквадратное уравнение.
x4−4x2+4=0

Делаем замену,
x2=t,t≥0

t2−4t+4=0

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
D=b2−4ac=(−4)2−4×1×4=16−16=0
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
t=−b2a=−(−4)2×1=2

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

x2=2x1=2–√x2=−2–√

Ответ: x1=2–√,x2=−2–√

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

−4x4+16x2=0

Выносим переменную x² за скобку,

x2(−4x2+16)=0

Приравниваем каждый множитель к нулю

x2=0x1=0−4x2+16=0−4x2=−16

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить x2=4 такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
x2=4x2=2x3=−2

Ответ: x1=0,x2=2,x2=−2

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
x4−16=0

Делаем замену,
x2=t,t≥0

Получилось неполное квадратное уравнение решаем его.
t2−16=0t2=16t1=4
t2=−4 не подходит условию t≥0

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
x2=4x1=2x2=−2

Ответ: x1=2,x2=−2

Пример №5:
x4+10=0

Делаем замену,
x2=t,t≥0

Получилось неполное квадратное уравнение решаем его.
t2+10=0
t2=−10, не подходит условию t≥0

Ответ: решения нет.