Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией.
an+1 = an + d , n є N
Число d называют разностью арифметической прогрессии
d = an+1 - an
Если разность между последующим и предыдущим членами последовательности есть одно и то же число, то это арифметическая прогрессия. Разумеется, при этом предполагается, что обнаруженная закономерность справедлива не только для явно выписанных членов последовательности, но и для всей последовательности в целом.
Арифметическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются только ее первые несколько членов.
Арифметическая прогрессия является:
возрастающей последовательностью, если d > 0, например, 1, 3, 5, 7, 9,11,...
убывающей, если d < 0, например, 20,17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... .
Характеристическое свойство арифметической прогрессии:
, n>1
Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия.
Арифметическая прогрессия может быть задана следующими способами:
а) рекуррентной формулой:
б) формулой n-го члена: an = a1+ d · (n - 1)
в) формулой вида, an = k·n + b , где k и b – числа, n – номер ? N
Сумма n членов арифметической прогрессии:
Основные определения и данные для арифметической прогрессии сведенные в одну таблицу:
| Определение арифметической прогрессии | an+1 = an + d |
| Разность арифметической прогрессии | d = an+1 - an |
| Формула n-го члена арифметической прогрессии | an = a1+ d · (n - 1) |
| Сумма n первых членов арифметической прогрессии | |
| Характеристическое свойство арифметической прогрессии | |